Sofic群とNon-Sofic群の理論：定義、例、構造定理、および最新の発展

群 $G$ を剰余有限群とする。任意に有限部分集合 $F \subset G$ と $\epsilon > 0$ をとる。$G$ がsoficであることを示すためには、適当な有限集合 $X$ と写像 $\phi \colon G \to \mathrm{Sym}(X)$ を構成し、定義 2.4 の2条件を満たすことを確認すればよい。

集合 $K = \{g^{-1} h \mid g, h \in F, g \neq h\}$ を定義する。$F$ は有限集合であるから $K$ も有限集合である。また、$g \neq h$ より $g^{-1}h \neq e$ であるから、$K$ は $G$ の単位元 $e$ を含まない。

$K$ の各元 $k \in K$ に対して、$G$ は剰余有限であるから、ある有限群 $Q_k$ と群準同型 $\pi_k \colon G \to Q_k$ が存在して、$\pi_k(k) \neq e_{Q_k}$ を満たす。

これらをすべて束ねた群準同型 $\Pi \colon G \to \prod_{k \in K} Q_k$ を、以下のように定義する。

$$ \Pi(g) = (\pi_k(g))_{k \in K} $$

$K$ は有限集合であり、各 $Q_k$ も有限群であるから、直積群 $Q = \prod_{k \in K} Q_k$ は有限群である。さらに、任意の $k \in K$ に対して、第 $k$ 成分 $\pi_k(k)$ が単位元ではないため、$\Pi(k) \neq e_Q$ が成り立つ。

ここで、有限集合 $X$ として有限群 $Q$ 自身をとる。すなわち $X = Q$ とする。写像 $\phi \colon G \to \mathrm{Sym}(X)$ を、$Q$ に対する左移動作用 (left translation action) を用いて次のように定義する。任意の $g \in G$ と $x \in X = Q$ に対して、

$$ \phi(g)(x) = \Pi(g)x $$

とする。$\Pi$ は群準同型であるため、任意の $g \in G$ に対して $\phi(g)$ は $X$ から $X$ への全単射となり、$\phi(g) \in \mathrm{Sym}(X)$ である。

この $X$ と $\phi$ がsofic群の条件を満たすことを確認する。

条件1の検証：
任意の $g, h \in G$ に対して、$\Pi$ が群準同型であることから、$\Pi(gh) = \Pi(g)\Pi(h)$ が成り立つ。したがって、任意の $x \in X$ に対して、

$$ \phi(gh)(x) = \Pi(gh)x = (\Pi(g)\Pi(h))x = \Pi(g)(\Pi(h)x) = \phi(g)(\phi(h)(x)) = (\phi(g) \circ \phi(h))(x) $$

となる。これはすべての $x \in X$ に対して成り立つため、$\mathrm{Sym}(X)$ において $\phi(gh) = \phi(g)\phi(h)$ である。ゆえに、正規化されたHamming距離は $d_H(\phi(gh), \phi(g)\phi(h)) = 0$ となる。$0 < \epsilon$ であるから、条件1は完全に満たされる。

条件2の検証：
任意の相異なる $g, h \in F$ をとる。このとき、$g^{-1}h \in K$ である。構成から、$\Pi(g^{-1}h) \neq e_Q$ である。群準同型の性質から $\Pi(g)^{-1} \Pi(h) \neq e_Q$ であり、したがって $\Pi(g) \neq \Pi(h)$ である。

各 $x \in X = Q$ に対して、$Q$ における群の簡約律により $\Pi(g)x = \Pi(h)x$ となるのは $\Pi(g) = \Pi(h)$ のときに限る。しかし $\Pi(g) \neq \Pi(h)$ であるから、すべての $x \in X$ に対して $\Pi(g)x \neq \Pi(h)x$ が成り立つ。すなわち、すべての $x \in X$ に対して $\phi(g)(x) \neq \phi(h)(x)$ である。

したがって、一致する要素の数は 0 であり、正規化されたHamming距離は次のように計算される。

$$ d_H(\phi(g), \phi(h)) = \frac{1}{|X|} |\{x \in X \mid \phi(g)(x) \neq \phi(h)(x)\}| = \frac{|X|}{|X|} = 1 $$

$1 > 1 - \epsilon$ であるから、条件2も完全に満たされる。以上により、任意の剰余有限群はsofic群である。（証明終わり）

$(\Rightarrow)$ $G$ がsofic群であると仮定する。$H$ を $G$ の任意の部分群とする。$H$ の任意の有限部分集合 $F \subset H$ は $G$ の有限部分集合でもある。$G$ のsofic性により、$F$ と $\epsilon > 0$ に対して定義を満たす有限集合 $X$ と写像 $\phi \colon G \to \mathrm{Sym}(X)$ が存在する。この $\phi$ の定義域を $H$ に制限した写像 $\phi|_H \colon H \to \mathrm{Sym}(X)$ は、そのまま $H$ に対するsofic性の条件を満たす。したがって、$H$ はsoficであり、特に $G$ の任意の有限生成部分群はsoficである。

$(\Leftarrow)$ $G$ のすべての有限生成部分群がsoficであると仮定する。$G$ の任意の有限部分集合 $F \subset G$ と任意の $\epsilon > 0$ をとる。有限集合 $F$ によって生成される $G$ の部分群を $H = \langle F \rangle$ とする。$H$ は有限生成部分群であるから、仮定により $H$ はsoficである。したがって、ある有限集合 $X$ と写像 $\psi \colon H \to \mathrm{Sym}(X)$ が存在し、次の2条件を満たす。

1. 任意の $g, h \in F$ に対して、$d_H(\psi(gh), \psi(g)\psi(h)) < \epsilon$ である。
2. 任意の相異なる $g, h \in F$ に対して、$d_H(\psi(g), \psi(h)) > 1 - \epsilon$ である。

ここで、写像 $\phi \colon G \to \mathrm{Sym}(X)$ を次のように拡張定義する。

$$ \phi(g) = \begin{cases} \psi(g) & (g \in H \text{ のとき}) \\ \mathrm{id}_X & (g \notin H \text{ のとき}) \end{cases} $$

ここで $\mathrm{id}_X$ は $X$ 上の恒等置換である。$F \subset H$ であるため、$F$ の元に対する $\phi$ の値は $\psi$ と完全に一致する。したがって、この $X$ と $\phi$ は群 $G$ に対するsofic群の定義の2条件を満たす。ゆえに $G$ はsofic群である。（証明終わり）

$GL_n(\mathbb{R})$ の任意の有限生成部分群を $H$ とし、その有限な生成系を $S = \{s_1, \dots, s_k\}$ とする。$S$ の各元は $n \times n$ 可逆行列である。$S$ の各元の行列成分、および各元の逆行列 $s_i^{-1}$ の行列成分をすべて集めた集合を $S_{\text{entry}} \subset \mathbb{R}$ とする。$S$ は有限集合であるから、$S_{\text{entry}}$ も $\mathbb{R}$ の有限部分集合である。

$S_{\text{entry}}$ によって $\mathbb{Z}$ 上生成される可換環を $A \subset \mathbb{R}$ とする。構成から、$A$ は有限生成 $\mathbb{Z}$-代数であり、$H$ の任意の元の成分は $A$ に属する。すなわち $H \subset GL_n(A)$ が成り立つ。

$H$ が剰余有限であることを示すため、任意に単位元ではない元 $g \in H$ をとる。$g$ は単位行列 $I_n$ ではないので、ある成分 $(i, j)$ が存在して $g_{ij} \neq \delta_{ij}$ (ここで $\delta_{ij}$ はKroneckerのデルタ) が成り立つ。$x = g_{ij} - \delta_{ij}$ とおくと、$x \in A$ かつ $x \neq 0$ である。

有限生成 $\mathbb{Z}$-代数 $A$ はJacobson環である。Jacobson環の基本性質により、$A$ のすべての極大イデアルの共通部分は零イデアル $\{0\}$ に等しい。$x \neq 0$ であるから、ある極大イデアル $\mathfrak{m} \subset A$ が存在して、$x \notin \mathfrak{m}$ を満たす。

さらに、代数幾何学におけるZariskiの補題 (Zariski's Lemma) により、有限生成 $\mathbb{Z}$-代数 $A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ による剰余環 $A/\mathfrak{m}$ は有限体となる。この有限体を $\mathbb{F}$ とおく。

標準的な射影 $\rho \colon A \to \mathbb{F} = A/\mathfrak{m}$ は環準同型である。これを各行列成分ごとに適用することで、群準同型 $\pi \colon GL_n(A) \to GL_n(\mathbb{F})$ が誘導される。$\mathbb{F}$ は有限体であるため、$GL_n(\mathbb{F})$ は有限群である。

行列 $g$ の $(i, j)$ 成分の像について考えると、$x = g_{ij} - \delta_{ij} \notin \mathfrak{m}$ であるため、$\rho(g_{ij}) \neq \rho(\delta_{ij})$ が成り立つ。これは $\pi(g)$ が $GL_n(\mathbb{F})$ の単位行列ではないことを意味する。

以上により、任意の $e \neq g \in H$ に対して、有限群 $GL_n(\mathbb{F})$ と群準同型 $\pi$ が存在して $\pi(g) \neq e$ となることが示された。したがって、$H$ は剰余有限である。（証明終わり）

定理 4.2 より、$GL_n(\mathbb{R})$ の任意の有限生成部分群は剰余有限である。命題 3.2 より、すべての剰余有限群はsoficであるため、$GL_n(\mathbb{R})$ の任意の有限生成部分群はsofic群である。そして定理 4.1 (sofic性の局所性) により、任意の有限生成部分群がsoficである群はそれ自身がsoficとなる。ゆえに $GL_n(\mathbb{R})$ はsofic群である。（証明終わり）